Vuelta a la Página PrincipalEl muelle oscilante se caracteriza por la constante elática D, la masa m y la constante de atenuación G. (G es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.)
El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo superior,
según la fórmula
yE = AE cos (wt).
En ella, yE representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; AE es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo w la frecuencia angular y t el tiempo.
Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo w0 = (D/m)1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial:
|
y''(t) = w02
(AE cos (wt) – y(t))
– G y'(t) Condiciones iniciales: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos:
| Caso 1: G < 2 w0 |
| Caso 1.1: G < 2 w0; G ¹ 0 o w ¹ w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e-Gt/2
[A1 sin (w1t)
+ B1 cos (w1t)]
w1 =
(w02 -
G2/4)1/2
Aabs = AE
w02
G w
/ [(w02
- w2)2
+ G2
w2]
Ael = AE
w02
(w02
- w2)
/ [(w02
- w2)2
+ G2
w2]
A1 = - (Aabs w
+ (G/2) Ael)
/ w1
B1 = - Ael
| Caso 1.2: G < 2 w0; G = 0 y w = w0 |
y(t) = (AE w t / 2) sin (wt)
| Caso 2: G = 2 w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e-Gt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AE
w02
G w
/ (w02
+ w2)2
Ael = AE
w02
(w02
- w2)
/ (w02
+ w2)2
A1 = - (Aabs w
+ (G/2) Ael)
B1 = - Ael
| Caso 3: G > 2 w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e-Gt/2
[A1 sinh (w1t)
+ B1 cosh (w1t)]
w1 =
(G2/4
- w02)1/2
Aabs = AE
w02
G w
/ [(w02
- w2)2
+ G2
w2]
Ael = AE
w02
(w02
- w2)
/ [(w02
- w2)2
+ G2
w2]
A1 = - (Aabs w
+ (G/2) Ael)
/ w1
B1 = - Ael
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14s/resmath_s.htm
© Walter Fendt, 9 Septiembre 1998
© Traducción: Juan Muñoz, 9 Marzo 1999
Última modificación: 19 Enero 2003