-  Aplicación de la Ley de Biot - Savart.

 

1.- a) Calcular  (campo magnético, inducción magnética o densidad de flujo magnético) creado por una corriente eléctrica de intensidad I, que circula por un alambre conductor recto de longitud L, en puntos del plano perpendicular al alambre, equidistante de sus extremos, y que se encuentran a una distancia d del alambre

b) Calcular el vector  en cualquier punto del espacio que rodea el alambre conductor del apartado a), considerando ahora que su longitud es infinita (L >> d)

Datos:  I = 10 A, L = 50 cm, d = 7 cm.

2.- Calcular el vector inducción magnética, , en cualquier punto del eje de una espira circular plana, constituida por un alambre conductor de longitud 2pR, por el que circula una corriente eléctrica de intensidad I. ¿Cuál será el nuevo valor de  si hay N espiras idénticas a la anterior conectadas en serie, en la misma posición, constituyendo una bobina de espesor despreciable?

Datos:  I = 6 A, R = 4 cm, N = 20, z = h = 1 cm (punto del eje a una altura de 1 cm de la espira)

 

3.- Dos bobinas circulares iguales, paralelas, coaxiales, de radio R y N espiras, están recorridas por corrientes iguales de intensidad I, que giran en el mismo sentido. Estas bobinas están separadas una distancia R formando lo que se conoce como bobinas de Helmholtz. Calcular el vector inducción magnética, , en el punto P del eje equidistante de los centros de las bobinas.

Datos: R = 10 cm, N = 50 ; I = 3 A

4.- Calcular el vector inducción magnética, , en el punto O, creado por una corriente eléctrica de intensidad I que circula a lo largo de la espira plana de la figura.

Datos: I = 8 A, R₁ = 5 cm, R₂ = 12 cm

 

5.- Un alambre conductor de longitud infinita, recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I, está doblado formando un ángulo 2a. Se pide:

a) calcular el vector inducción magnética  en el punto P, punto de la bisectriz que se encuentra a una distancia h del vértice.

b) Comparar el vector calculado anteriormente con el que se obtendría en el punto P si el cable hubiese sido totalmente recto.

Datos: I = 5 A, , h = 2 cm

 

 

6.- Calcular el vector inducción magnética, , en el centro de una espira cuadrada, plana, formada por cuatro alambres conductores rectos de longitud L = 0,4 m, por los que circula una corriente eléctrica de intensidad I = 10 A.

 

 

-  Ley de Ampère; circulación y cálculo de .

7.- Calcular la circulación (integral de línea) del vector inducción magnética,, a lo largo de los circuitos C₁, C₂, C₃ y C₄ de la figura, si las corrientes eléctricas que recorren los hilos son perpendiculares al plano del papel e iguales a 15 A. Los circuitos son planos y se encuentran contenidos en el plano del papel. ¿Es posible calcular  a partir de estas integrales?

 

8.- a) Calcular, aplicando la ley de Ampère, el vector inducción magnética, , creado por una corriente eléctrica de intensidad I, que circula por un alambre conductor recto de longitud infinita, en cualquier punto del espacio.

b) Si el alambre fuese finito de longitud L, ¿se podría calcular el vector  en puntos del plano perpendicular al alambre y equidistante de sus extremos aplicando la ley de Ampère?

9.- Una línea de transporte de energía eléctrica, monofásica, de baja tensión, está constituida por dos alambres conductores de cobre, el conductor R de ida y el conductor T de vuelta, rectos, paralelos, separados una distancia h. La longitud de la línea se considera infinita. Si por la línea circula una corriente eléctrica de intensidad I, calcular:

a) el vector inducción magnética,, en los puntos de la recta aa’, recta contenida en el plano definido por los dos conductores y equidistante de ambos.

b) Para mejorar la capacidad de transporte de esta línea, se propone duplicar el número de conductores, de forma que la corriente eléctrica circule ahora por dos conductores de ida, el R y el R’, y por dos de vuelta, el S y el S’, situados en los vértices de un cuadrado de lado h.  Si por la línea circula la misma corriente eléctrica del apartado anterior, calcular el vector inducción magnética,, en los puntos de la recta cc’, recta paralela y equidistante a los cuatro conductores.

Animación a

Animación b

Datos: I = 50 A, h = 1 m, L = 100 m,

10.- Una línea eléctrica trifásica de transporte de energía de 437 MVA y 1800 km de longitud, está constituida por tres cables conductores aéreos paralelos, soportados por torres metálicas, cuyas dimensiones se indican en la figura. En un instante determinado, circulan por cada uno de los conductores unas corrientes eléctricas de intensidad I₁ = 541 A, I₂ = 1082 A e I₃ = 541 A, en el sentido indicado en la figura. Calcular el vector inducción magnética  en el punto P.

Para aumentar la capacidad de transporte de la línea hasta 1145 MW, se sustituyen los tres cables anteriores por dos cables, uno de ida y otro de vuelta, por donde circula corriente continua. La nueva disposición de los cables y el sentido de las corrientes se indica en la figura. Si la nueva intensidad de corriente eléctrica es I₁ = I₂ = 1145 A, calcular el vector  en el punto P.

Datos: H₁ = 25 m, L₁ = 11 m, H₂ = 26 m, L₂ = 11 m

H1

L2

L2

L1

L1

P

P

I1

I2

H2

I2

I3

I1

              

          Línea de Corriente Alterna Trifásica                                Línea de Corriente Continua

11.- Por un cable conductor, recto e infinito, de radio R = 5 cm, circula una corriente eléctrica de intensidad I = 30 A, en dirección axial y uniformemente distribuida en su sección circular. Calcular y representar gráficamente:

a) el campo magnético, , en puntos interiores del cable, y

b) el vector  en puntos exteriores al cable.

12.- Un cable coaxial está formado por un conductor interno cilíndrico macizo de radio 0,4 cm, recto, de longitud infinita, y un conductor cilíndrico coaxial con el anterior de radio interior 1,8 cm y espesor 0,2 cm. Por el conductor interior circula una corriente eléctrica distribuida uniformemente de intensidad I = 120 A, que regresa por el conductor exterior, distribuyéndose también de forma uniforme (ambas corrientes son antiparalelas). El espacio que separa ambos conductores es aire. Calcular el vector inducción magnética, , en todos los puntos del espacio.

13.- a) Calcular el vector densidad de flujo magnético, , en el interior de un solenoide ideal de radio R, longitud L (L>>R), con n vueltas (espiras elementales) por unidad de longitud arrolladas en su superficie, cuando circula por las espiras una corriente eléctrica de intensidad I.

b) Aplicar el resultado anterior para determinar el valor del vector  en el centro de un solenoide de longitud 1,23 m y un diámetro interior de 3,55 cm. El devanado del solenoide tiene cinco capas de 850 espiras cada una y conduce una corriente de 5,57 A.

14.- a) Una bobina toroidal o toroide ideal de sección circular está constituida por N espiras elementales de radio R₁, conectadas en serie, infinitamente próximas unas a otras, cuyos centros se encuentran sobre una circunferencia plana de radio R y distribuidas uniformemente en toda la superficie exterior. Si circula una corriente eléctrica de intensidad I por las espiras, determinar el vector inducción magnética, , en puntos interiores del toroide y pertenecientes al plano definido por su centro y los centros de las espiras elementales.

b) Aplicar el resultado anterior para calcular el vector  en el punto medio entre la pared interna y externa del núcleo de un toroide de sección circular de radio R = 4 cm y R₁ = 1 cm.  El devanado tiene dos capas de 200 vueltas cada una y la corriente eléctrica que circula es de 0,5 A.

I

 

- Fuerzas y momentos sobre circuitos eléctricos.

 

15.- Por un alambre recto, que se encuentra en el eje XX', circula una corriente eléctrica de intensidad 5 A en sentido . Calcular la fuerza sobre el segmento del alambre que se encuentra entre x = 1,2 m y x = 3,2 m, si el vector densidad de flujo magnético, , en el entorno del alambre viene dado por la expresión

 

16.- Un alambre metálico de masa m puede deslizar sin fricción sobre dos rieles horizontales paralelos separados una distancia d y fijos en el terreno. Una corriente constante I fluye desde el generador G a lo largo de un riel a través del alambre, y de regreso al otro riel. Este conjunto de conductores está dentro de un campo magnético vertical uniforme , cuyo origen es independiente de I. Hallar la velocidad (módulo, dirección y sentido) del alambre en función del tiempo, suponiendo que está en reposo en t = 0 s.

Datos: d = 0,5 m, I = 10 A, m = 0,5 kg,

17.- Calcular la fuerza neta que actúa sobre cada uno de los elementos (1) y (2) del tramo del circuito representado en la figura cuando por él circula una corriente I en el sentido marcado , y que está en presencia de un campo magnético  constante en la dirección representada. ¿Qué tipo de movimiento origina la fuerza total ejercida sobre el circuito?

Datos:

 

 

 

18.- Se dispone de dos circuitos idénticos formados por dos raíles metálicos paralelos, sólidamente unidos al terreno, conectados a una batería que los mantiene a una diferencia de potencial constante V_o = V_a-V_b. Ambos circuitos están inmersos en un campo magnético, cuyo vector inducción  magnética es, con B_o constante. En t = 0 s se colocan dos barras de la misma masa y materiales conductores distintos apoyadas en los raíles en la posición x = 0 m, y se lanzan con la misma velocidad  en la dirección del vector unitario . Se considera que el rozamiento entre las barras y los raíles es despreciable. Suponiendo que la primera barra está formada por un material de alta conductividad y la segunda por un material de alta resistividad, indicar razonadamente cuál de las dos barras llegará más lejos.

19.- Una corriente eléctrica de intensidad I circula a lo largo de un trozo de alambre conductor, plano, con la forma indicada en la figura. El alambre se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme , perpendicular al plano del alambre e independiente de I. Calcular la fuerza magnética total que actúa sobre el alambre.

 

 

 

 

 

Datos:

20.- Un tramo del cable que une un pararrayos con la toma de tierra tiene, aproximadamente, la forma indicada en la figura 1. El campo magnético terrestre  es perpendicular al plano del cable, y tiene el sentido indicado en las figuras. El cable se supone rígido e indeformable. Si durante la descarga de un rayo, la intensidad de corriente eléctrica que circula es I, calcular la fuerza total  sobre el cable conductor.

Si el trazado real del cable es el que se indica en la figura 2, calcular las componentes vertical y horizontal de la fuerza total sobre el cable conductor.

Datos: L₁ = 2 m, L₂ = 1 m, L₃ = 5 m, R = 0,5 m,, I = 25 kA

21.- Un modelo de motor eléctrico de corriente continua está constituido por un aro metálico de radio R = 0,5 m unido al eje mediante 6 radios, conectado mediante dos escobillas a una fuente de corriente continua.  El eje se supone de radio despreciable.  El conjunto se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme, perpendicular al plano del aro, de valor 2 T.  Suponiendo que por cada radio circula una corriente eléctrica de intensidad 1 A, calcular el momento, respecto del centro del aro, de las fuerzas que actúan sobre los radios ( par motor ).

Animación

22.- Un modelo elemental del rotor de un motor industrial de corriente continua estaría constituido por una bobina rectangular de N arrollamientos, contenida en un campo magnético uniforme . Para permitir el cambio de sentido en la circulación de la corriente eléctrica en la bobina, manteniendo así un par motor del mismo sentido en los 2p radianes, los extremos de la bobina se unen al colector de delgas.  Este colector gira solidario con la bobina, y se mantiene en contacto con las escobillas, piezas de carbón unidas a la fuente de fuerza electromotriz y fijas al estator (ver figura en la siguiente página). Si la corriente eléctrica I se supone constante, calcular:

a)  la expresión del par motor (momento respecto del punto central de la bobina) en función de j,

b)  el valor medio del par motor a lo largo de 2p radianes.

c) Si B_o = 0,5 T y L^.W = 0,5 m², calcular los amperios-vuelta, N^.I, que son necesarios para producir un par motor medio de 2 N^.m.

 

 

-  Ley de Lorentz; fuerzas sobre cargas puntuales. Efecto Hall.

 

23.- Un protón procedente de un rayo cósmico choca contra la Tierra cerca del ecuador con una velocidad vertical de 2,8^.10⁷ m/s. Si la componente horizontal del campo magnético terrestre en el ecuador es de 30 mT, calcular la fuerza magnética que actúa sobre el protón y compararla con la fuerza de origen gravitatorio que actúa sobre él.

24.- Un electrón se encuentra a una distancia h de un alambre conductor recto e infinito, por donde circula una corriente eléctrica de intensidad I. Calcular:

a) Fuerza  (módulo, dirección y sentido) sobre el electrón cuando éste se encuentra en reposo.

b) Fuerza  (módulo, dirección y sentido) sobre el electrón cuando se lanza con una velocidad inicial , con   paralela al conductor y con el mismo sentido que la corriente eléctrica I.

Datos: I = 5 A, h = 3 cm,

25.- Una pletina de cobre de espesor e y anchura d, está colocada en un campo magnético uniforme de valor 1,2 T y cuya dirección forma un ángulo a = con el plano de la pletina. Si por la cinta circula una corriente eléctrica de 5 A, calcular la fem Hall, e_H, que aparecerá entre los lados de la cinta, indicando el terminal positivo y el negativo.

Datos: e = 0,1 cm, d = 2 cm,

26.- Una pletina de material semiconductor tipo N de espesor h = 0,5 cm y anchura d = 5 cm, está situada en el interior de un campo magnético uniforme de valor 1,3 T y perpendicular al plano de la pletina. Si la intensidad de corriente eléctrica en la pletina es de 3,75 mA,

a) calcular la fem Hall, e_H, que aparecerá entre las caras aa' y bb', indicando la cara de mayor potencial y la de menor potencial.

b) Si cortocircuitamos exteriormente las caras aa' y bb' de la pletina a través de un cable de resistencia despreciable, manteniendo constantes el valor de la corriente y de la inducción magnética, calcular la diferencia de potencial y la fem Hall entre las caras aa' y bb'.

Datos:

27.- Disponemos de una lámina metálica con las dimensiones especificadas en la figura_. Entre los terminales P1 y P2 circula una corriente eléctrica de intensidad I_s en el sentido indicado. La lámina se halla en presencia de un campo magnético en la dirección Z, variable con el tiempo de la forma .

a) Calcular la amplitud de la tensión medida por un voltímetro entre los terminales H2 y H1,   (V_H2 - V_H1).

b) Dibujar las formas de onda de la diferencia de potencial en el voltímetro y del campo magnético aplicado, indicando el desfase entre ambas.

Datos:

 

BIBLIOGRAFÍA Y RESULTADOS

 

-- Problema 1, [ Resnick R. - Halliday D., "Física", Tomo II, 4^a Ed.; Cap. 35, Ap. 35.2^r].  [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 3^a Ed. rev.;  Cap. 30, Ej. 30.1^r ]. Resultado:

-- Problema 2, [ Resnick R. - Halliday D., "Física", Tomo II, 4^a Ed.; Cap. 35, Ap. 35.2^r].  [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 3^a Ed. rev.;  Cap. 30, Ej. 30.2^r , Pb. 3^s].  [ López Rodríguez, V., "Problemas resueltos de Electromagnetismo",  Cap. 9, Pb. 9.3^r ]. Resultado:

--  Problema 3, [ López E. - Núñez F., "100 Problemas de Electromagnetismo", Alianza Editorial, Madrid 1997; Pb. 52^r ]. [ de Juana J. - Herrero M.A., "Electromagnetismo, Problemas de exámenes resueltos", Editorial Paraninfo, Madrid 1993;  Cap.4, Pb 8^r ]. Resultado:

, paralelo al eje común de las bobinas y apuntando hacia la bobina de la izquierda.

--  Problema 4^e, Teoría 2º Parcial, Curso 1996-97, 3-6/97. Resultado:

, perpendicular y saliente al papel (plano que contiene a la espira)

--  Problema 5^e, Problemas 2º Parcial, Curso 1995-96, 14-6/96. Resultado:  

 _{perpendicular y entrante al papel (plano definido por los dos tramos de conductor )}

--  Problema 6,  Resultado:.

 , sentido perpendicular al plano de la espira y entrante

--  Problema 7^e, Teoría 2º Parcial, Convocatoria de Junio, Curso 1996-97, 24-6/97. Resultado:

 

No es posible calcular el vector inducción magnética, ya que es de la forma

--  Problema 8, [ Resnick R. - Halliday D., "Física", Tomo II, 4^a Ed.; Cap. 35, Ap. 35.5^r ]. Resultado:

--  Problema 9^e, Convocatoria de Junio, Curso 1999 - 00, 30-6/00. Resultado:

 _{En ambos casos debe aplicarse la ley de Ampere para calcular de forma independiente el vector  creado por cada alambre. Una vez conocido , se aplica el principio de superposición, siendo el resultado final la suma vectorial de los campos magnéticos.}

--  Problema 10^e, 2º Parcial, Curso 2000 - 01, 5-6/01. Resultado:

a)

b)

--  Problema 11, Resultado:

--  Problema 12, [ de Juana J. - Herrero M.A., "Electromagnetismo, Problemas de exámenes resueltos", Editorial Paraninfo, Madrid 1993;  Cap. 4, Pb 13^r ].Resultado:

con r (m) la coordenada radial en un sistema de proyección cilíndrico con eje ZZ' el eje del cable

--  Problema 13, [ Resnick R. - Halliday D., "Física", Tomo II, 4^a Ed.; Cap. 35, Ap. 35.6^r, Ej. 6^r]. [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 3^a Ed. rev.;  Cap. 30, Ap. 30.4^r]. Resultado:

--  Problema 14, [ López E. - Núñez F., "100 Problemas de Electromagnetismo", Alianza Editorial, Madrid 1997; Pb. 55^r ].  [ Resnick R. - Halliday D., "Física", Tomo II, 4^a Ed.; Cap. 35, Ap. 35.6^r].  [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 3^a Ed. rev.;  Cap. 30, Ej. 30.5^r]. Resultado:

 Visto el toroide desde arriba,  gira en el sentido de las agujas del reloj

--  Problema 15, Resultado:

--  Problema 16, Resultado: . Su dirección es paralela a los raíles y su sentido de derecha hacia la izquierda

--  Problema 17^e, 2º Parcial, Curso 1999 - 01, 15-6/00. Resultado 

El par de fuerzas da lugar a un giro sin desplazamiento en sentido horario, si se observa el alambre desde arriba

--  Problema 18^e, Teoría 2º Parcial, Curso 1995-96, 14-6/96.  Resultado: La barra de alta resistividad llegará más lejos.  La fuerza de origen magnético, proporcional a la corriente eléctrica que circula por el conductor, se opone al movimiento y actúa como una fuerza de rozamiento

 

--  Problema 19, [ Resnick R. - Halliday D., "Física", Tomo II, 4^a Ed.; Cap. 34, Ej. 5^r].  [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 3^a Ed. rev.;  Cap. 29, Ej. 29.2^r ]. Resultado:  . La dirección es perpendicular a los trozos rectos y el sentido hacia abajo

--  Problema 20^e, Convocatoria de Junio, Curso 2000 - 01, 20-6/01. Resultado:

--  Problema 21, [ Marshall S.V., DuBroff R.E., Skitek G.G., "Electromagnetismo.  Conceptos y aplicaciones",    4^a Ed.;  Cap. 7, Ej. 7^r]. Resultado: , el aro , visto desde arriba, gira en sentido horario

--  Problema 22, Resultado:

--  Problema 23, [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 3^a Ed. rev.;  Cap. 29, Ej. 21.1^r ]. Resultado:

--  Problema 24^e, Teoría Convocatoria de Septiembre, Curso 1996-97, 10-9/97. Resultado:

--  Problema 25, [ Resnick R. - Halliday D., "Física", Tomo II, 4^a Ed.; Cap. 34, Ej. 3^r].   [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 3^a Ed. rev.;  Cap. 29, Ej. 29.7^r ]. Resultado: .  El terminal positivo será la pared lateral que se encuentra a la derecha.

--  Problema 26^e, 2º Parcial, Curso 1998 - 99, 14-6/99. Resultado:

--  Problema 27^e, 2º Parcial, Curso 1999 - 00, 15-6/00. Resultado:

b) La tensión en el voltímetro está en oposición de fase con la señal de

 

 

^r: problema resuelto. 

^e: problema o cuestión propuesto en examen.