TEMA 3: CONDENSADORES CON DIELÉCTRICOS. APANTALLAMIENTO Y RUPTURA DIELÉCTRICA

Tema 3.  Condensadores con dieléctricos.

 

-  Cálculo de capacidades.

 

1.- Un condensador de placas planas lleno de aire tiene una capacidad de 1,32 pF (1,32.10-12 F) La separación de las placas se duplica y entre ellas se introduce cera. Si la nueva capacidad del condensador es de 2,57 pF, calcular la permitividad dieléctrica, e, de la cera.

SOLUCIÓN

 


2.- Un condensador de placas planas, paralelas, está lleno de dos medios dieléctricos de permitividades e1 y e2. Comprobar que su capacidad viene dada por la expresión  donde A es la superficie de las placas y d la distancia de separación entre ambas.

SOLUCIÓN

 

 


 

3.- Un condensador de placas planas, paralelas, está lleno de dos medios dieléctricos de permitividades e1 y e2. Comprobar que su capacidad viene dada por la expresión  donde A es la superficie de las placas y d la distancia de separación entre ambas.

 

 


4.- Un condensador de montaje superficial para placas de circuito impreso tiene la geometría indicada en la figura, pudiéndose aproximar su comportamiento al de un condensador plano (se desprecian los efectos de distorsión de líneas de campo eléctrico). Los electrodos están constituidos por una aleación de plata y níquel (Ag-Ni), y el medio dieléctrico es un compuesto de dióxido de titanio y óxido de bario (BaTiO3), con una permitividad de 650.eo. Debido a defectos en el montaje del condensador, así como a fuertes variaciones de temperatura en la placa, uno de los extremos del material dieléctrico acaba despegándose del electrodo, quedando ambos separados por una lámina de aire (eo) de espesor d.

a) Calcular la diferencia entre la capacidad original del condensador y la capacidad después de producirse la separación entre el dieléctrico y el electrodo.

b) Si la diferencia de potencial entre los electrodos del condensador era inicialmente de 2,3 V, calcular el nuevo valor de la diferencia de potencial necesaria para que, una vez separados el dieléctrico y el electrodo, el vector polarización  en el dieléctrico mantenga su valor inicial.

Datos: d = 5 .10-3 m,  h = 2 .10-3 m,  e = 0,5 .10-3 m,  = 4,5 .10-3 m,  d = 1 .10-6 m

 

5.- Se dispone de dos placas de cobre, una lámina de mica de espesor 0,1 mm y e = 5,4.eo, una lámina de vidrio de espesor 2 mm y e = 7.eo, y una lámina de parafina de espesor 1 cm y e = 2.eo. Las placas de cobre y las láminas son planas y tienen la misma superficie. Indicar con cuál o cuáles de estas placas se construiría un condensador de máxima capacidad, indicando su geometría.

SOLUCIÓN

6.- Un micrófono puede construirse partiendo de un condensador de placas planas, paralelas, de superficie S. Sobre el electrodo A del condensador se deposita una capa aislante de nylon (en) de espesor d. La superficie del nylon se separa del electrodo B mediante una lámina conductora descargada de superficie S y espesor despreciable y una capa de material aislante muy elástico (eg) que puede comprimirse y expandirse fácilmente, y cuyo espesor es . Cuando una onda sonora alcanza la superficie exterior del electrodo B, el dieléctrico elástico se comprime inicialmente y oscila, modificando la distancia que separa el electrodo A del B.

Si se aplica una diferencia de potencial constante entre los electrodos V0 = VA - VB , la señal acústica se transforma en una señal eléctrica (diferencia de potencial entre el electrodo A y la lámina conductora intermedia C) que podemos medir y amplificar.

Si un sonido que choca contra el electrodo B provoca una oscilación de la longitud  de la forma 

a) Calcular la capacidad del micrófono en función de la longitud .

b) Calcular la diferencia de potencial entre el electrodo A y lámina conductora intermedia,       VA-VC, indicando los valores máximos y mínimos en el periodo 0 < t < 0,2 ms.

Datos: V0 = 12 V, S = 15 cm2 , d = 1 mm,  = 2 mm, , w = 104 p rad/s, en = 5.eo , eg = 7.eo

7.- El cable coaxial de una línea de transmisión está formado por un conductor cilíndrico macizo de radio 0,11 mm y un conductor cilíndrico coaxial con el anterior de radio interior 0,588 mm y espesor despreciable. El espacio que separa ambos conductores está lleno de poliestireno, cuya permitividad es 2,6.eo. Calcular la capacidad asociada a 1 km de este cable coaxial.

SOLUCIÓN NUMERICA

8.- Para detectar la presencia de un gas en el aire, se propone utilizar un sensor capacitivo. El sensor, de forma cilíndrica, está constituido por un electrodo interior, de radio R1, altura H, rodeado de una capa de vidrio de radio interior R1, radio exterior R2 , altura H y permitividad constante ev = 6.eo. El electrodo exterior tiene radio interior R3, altura H y espesor d. Las tapas superior e inferior del condensador están formadas por dos cilindros de espesor despreciable, radio interior R1 y radio exterior R3 + d, de plástico perforado que permite el paso del aire a través de ellas. El aire que rodea al sensor ocupa también el espacio entre el vidrio y el electrodo exterior. La permitividad del aire, ea, depende de la concentración del gas cuya presencia se pretende detectar y es lineal, homogénea e isótropa. Varía desde eo, cuando no hay gas en el aire, hasta 1,5.eo cuando la concentración del gas en el aire es máxima. El condensador trabajará a carga constante, de forma que será la diferencia de potencial entre los electrodos lo que permitirá conocer la concentración de gas. Si la carga del condensador es q+ , determinar la relación entre la permitividad relativa del aire,  , y la diferencia de potencial entre los electrodos del condensador, Va – Vb = f (era), y representarla gráficamente.

Datos: R1 = 5 mm , R2 = 10 mm , R3 = 30 mm , d = 0,5 mm , H = 60 mm , q+ = 30 pC

9.- Calcular la capacidad de un sistema eléctrico formado por dos cilindros conductores coaxiales de longitud 2L y radios R1 y R2 (R1 < R2 << L), entre los que existen dos materiales dieléctricos con las siguientes permitividades:  

Datos:  R1= 0,25 cm; R2= 0,4 cm; L = 10 cm

                      

                          Problema 9                                                  Problema 11                                           Problema 12

10.- Para construir un condensador esférico, se parte de una esfera de acero de radio R1 = 1 cm. La esfera se rodea de una cascarón esférico de corcho (e = 3,5.eo) de radio interior R2 = 1 cm y radio exterior R3 = 4 cm. Sobre la superficie exterior del corcho se deposita una fina capa de cobre, de espersor despreciable. Calcular la capacidad del condensador.

11.- Una esfera conductora de radio R1 está rodeada de una semicorona esférica concéntrica de material dieléctrico, de radios R1 y R2 (R1 < R2), y permitividad e. Rodeando el dieléctrico se encuentra un conductor esférico hueco de espesor despreciable y radio R2. El resto del espacio se considera vacío. Si la diferencia de potencial entre el conductor exterior y el interior es Vo > 0,

a) calcular el vector intensidad de campo eléctrico  en cualquier punto del dieléctrico,

b) calcular las densidades superficiales de carga real en las superficies de los conductores, y

c) calcular la capacidad del sistema.

12.- Una esfera conductora de radio R1, está rodeada de una corona esférica concéntrica de material dieléctrico, de radios R1 y R2 (R1 < R2), y permitividad e. Rodeando el dieléctrico se encuentra un conductor esférico hueco de espesor despreciable y radio R3 > R2. El resto del espacio se considera vacío. Si la diferencia de potencial entre los electrodos es Vo > 0, calcular:

a) el vector intensidad de campo eléctrico  y el vector polarización  en el dieléctrico,

b) la capacidad del sistema.

13.- Para obtener una señal eléctrica que permita controlar el nivel de líquido en un depósito se propone usar un condensador plano, constituido por dos placas conductoras iguales, de espesor despreciable, semicirculares, de radio R = 10 cm, paralelas y perfectamente enfrentadas una a otra, separadas una distancia d = 2 cm. Una pieza semicilíndrica de material dieléctrico, de permitividad  e = 2,5 eo, de radio R = 10 cm y altura d = 2 cm, se encuentra en el espacio entre las placas conductoras. Este semicilindro puede girar alrededor de su eje, de manera que queda más o menos enfrentado a las placas según su posición angular, f º j.  El eje de esta pieza dieléctrica está unido al de una polea. Un sistema formado por un flotador en contacto con la superficie del líquido y un contrapeso permiten girar a la polea al variar el nivel del líquido. El giro de la polea provoca el giro de la pieza dieléctrica del condensador, modificando así su capacidad. El máximo nivel (hMAX) coincide con la posición angular f = 0, y el mínimo nivel (hmin) con f = p. El radio de la polea es tal que por cada 0,5 m de variación del nivel, la polea gira un sexto de vuelta.

 

Si el condensador se encuentra aislado y con una carga de 1,5 nC,

a) calcular el valor de la capacidad del condensador en función del ángulo f, y

b) obtener la expresión de la diferencia de potencial leída en un voltímetro ideal (resistencia interna infinita), conectado entre los conductores A y B del condensador, en función del nivel de líquido, h.


-  Potenciales puntuales. Conductores unidos a tierra. Apantallamiento electrostático.


14.- Calcular, tomando la referencia de potencial en el infinito, los potenciales puntuales Va y Vb de los puntos A y B de la figura, así como la diferencia de potencial electrostático entre ellos, (Va –Vb), cuando:

a) la carga es positiva de valor 5 nC

b) la carga es negativa de valor -6 pC

Datos: R1 = 0,5 m, R2 = 0,8 m


 


15.- Un volumen esférico de radio R = 5 cm se encuentra uniformemente cargado, siendo la densidad volumétrica de carga rv+ = 53 mC/m3.

a) Calcular, a partir del vector , la diferencia de potencial entre dos puntos del espacio.

b) Definiendo la  referencia de potencial en el centro de la esfera, V(r = 0) = 0 V, encontrar el potencial electrostático de cualquier punto del espacio, V(r), así como la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera, comparando el resultado con el obtenido en el apartado a).

c) Si la referencia se toma en el infinito, V(r = ¥) = 0 V, encontrar el potencial electrostático de cualquier punto del espacio, V(r), y representarlo gráficamente. Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera, comparando el resultado con los obtenidos en los apartados a y b.


16.- Disponemos de dos esferas concéntricas, huecas, aisladas y cargadas con carga total Q1 = 20 mC y Q2 = – 60 mC respectivamente.

a) Indicar cuánta carga aparece en las superficies interior y exterior de cada una de las esferas.

b) Si se conecta la superficie interior de la esfera externa a tierra, ¿cuánta carga habrá en cada una de las superficies de los conductores?

 


17.- Un depósito esférico de gas tiene un radio interior R = 5 m. La pared del depósito es de chapa metálica, de espesor  d = 5 mm. La superficie interior de la pared tiene una capa de pintura aislante, de espesor despreciable, que impide el contacto directo del gas con la chapa conductora. En condiciones normales de funcionamiento, la pared del depósito está unida a tierra. El depósito se llena hasta su máxima capacidad de una gas dieléctrico de permitividad 2.eo, que está débilmente ionizado y cargado. De las 64.1027  moléculas de gas que contiene el depósito, solamente 6.1016 no son eléctricamente neutras. Estas 6.1016 moléculas se encuentran distribuidas uniformemente en el depósito y contienen cada una dos protones más que electrones.

a) En estas condiciones, se pide calcular las densidades de carga real que aparecen en la superficies interior y exterior de la pared del depósito, indicando claramente su signo y sus unidades.

Debido a unas obras de mantenimiento, una excavadora rompe el cable que unía la pared del depósito con la tierra. En estas nuevas condiciones, se extrae del depósito la mitad del gas que inicialmente contenía, descendiendo a 3.1016  las moléculas cargadas, que están uniformemente distribuidas en el depósito.

b) Calcular las densidades de carga real que aparecen en la superficies interior y exterior de la pared del depósito en esta nueva situación, indicando claramente su signo y sus unidades.

18.- Una placa de circuito impreso multicapa consiste en una base de fibra de vidrio de permitividad e1 y espesor h. En ambas caras de la base se han depositado capas de cobre aisladas. En la cara superior se ha añadido una capa de aislante poliuretano, de permitividad e2 y espesor d, y sobre ella otra capa de cobre. Para evitar en lo posible interferencias y facilitar el diseño, la capa conductora inferior se conecta a tierra (lo que se suele denominar “plano de masa”) y la superior (plano de alimentación) se conecta a la tensión de alimentación, Vcc = 5 V respecto a tierra. El grosor de las superficies conductoras es d y se puede obviar el efecto de la deformación de las líneas de campo.

a) Si la pista interior se encuentra descargada, calcular su potencial respecto a tierra.

b) Si la pista interior se conecta a 2 V respecto al plano de masa, calcular la densidad de carga real almacenada en cada cara de la pista.

Datos:  h = 1 mm; d = 0,1 mm; d << d; e1 = 6·e0;  e2 = 2,5·e0;  e0 = 8,85·10‑12 F/m; S = 1 cm2

19.- Una esfera conductora C1 de radio R1 se encuentra cargada con una carga de valor Q > 0.  Se dispone de una segunda esfera conductora hueca, C2, de radios R2 y R3 (R1 << R2, R2 < R3) conectada a tierra, con un orificio circular por donde puede introducirse la esfera C1.

a) Si introducimos C1, sin tocar en ningún momento la esfera exterior C2, hasta que queda concéntrica con ella, calcular el vector intensidad de campo eléctrico  en cualquier punto del espacio y las densidades superficiales de carga en los conductores C1 y C2.

b) Si a continuación ponemos en contacto C1 con el fondo del conductor C2 y, transcurridos unos segundos, volvemos a situar la esfera C1 en el centro de C2, determinar el vector  en cualquier punto del espacio y las nuevas densidades superficiales de carga en C1 y C2.


- Rigidez dieléctrica. Descargas en forma de arcos o chispas.

20.- Un condensador de placas planas paralelas y dieléctrico aire se puede cargar hasta Q0 sin que ocurra una descarga eléctrica. Al introducir una placa de vidrio pyrex que llena el espacio entre los electrodos, la carga máxima es Q sin que ocurra una descarga. ¿Cuál es la razón Q/Q0?

Datos: EMAX aire = 3.106 V/m, EMAX pyrex = 14.106 V/m, epyrex = 5,6.eo

21.- Cierta sustancia, de permitividad relativa 2,8 y rigidez dieléctrica de 18,2 MV/m, se emplea como material dieléctrico en un condensador de placas planas paralelas.  Calcular el área mínima de las placas para que su capacidad sea de 68,4 nF y pueda soportar una diferencia de potencial de 4,13 kV.

22.- Para fabricar un condensador plano paralelo, de una micra de espesor, se deposita sobre el electrodo inferior una capa de material aislante de espesor d = 1mm, permitividad relativa 103 y rigidez dieléctrica 1 MV/m.  En el intervalo de tiempo transcurrido hasta que se deposita el electrodo superior se produce, por el contacto con la atmósfera, una oxidación superficial de la capa de aislante.  La oxidación se extiende hasta una profundidad de a = 100 Å por debajo de la superficie superior del material aislante.  Si la permitividad dieléctrica relativa del óxido es de 100 y su rigidez dieléctrica de 1 MV/m, estudiar cómo se ven afectados los valores de capacidad y potencial de ruptura del condensador debido a este defecto en su fabricación.

23.- Un condensador (condensador 1) aislado de placas planas, paralelas, superficie S1 y espesor d1, está lleno de un material dieléctrico de permitividad constante e1 y rigidez dieléctrica EM1.

a)  Si la diferencia de potencial inicial entre sus conductores es Va - Vb  = Vo > 0 y lo conectamos en paralelo con otro condensador (condensador 2) inicialmente aislado y descargado, también de placas planas, paralelas, de superficie S2, espesor d2, lleno de un material dieléctrico de permitividad constante e2 y rigidez dieléctrica EM2, calcular el valor de Vo (diferencia de potencial inicial en el primer condensador) a partir del cual se producirá la perforación del segundo condensador trás su conexión con el primero.

 

b) Suponiendo ahora que una vez conectados los dos condensadores en paralelo no se ha producido la perforación (Vo era menor que el valor que se pedía calcular en el apartado anterior), los terminales del condensador 2 se invierten (el terminal a' pasa a estar conectado con el b y el b' con el a) manteniendo el conjunto aislado, calcular la carga final en el condensador 1 y la diferencia de potencial en el condensador 2, Va'  - Vb'.

Animación 23a Animación 23b

24.- Comercialmente casi siempre se obtiene el ozono a partir del oxígeno atmosférico (O2), mediante dispositivos de efecto corona. La ionización producida por este efecto induce la creación de moléculas de ozono (O3). Habitualmente se utilizan configuraciones cilíndricas o planas. Un dispositivo posible está formado por dos láminas metálicas planas cuadradas de lado L entre las que se coloca una fina placa de vidrio de permitividad e1 = 10.eo para impedir la conducción directa; el resto del espacio es aire, en el que se producirá ozono. La rigidez dieléctrica del vidrio se supone del mismo valor que la del aire.

a) Calcular la diferencia de potencial entre los dos electrodos necesaria para que se produzca ionización del aire.

b)      Para la diferencia de potencial del apartado anterior, ¿se producirá ruptura en el vidrio?

Datos: L = 5 cm, e = 5 mm, d = 1 mm, EMAX aire = EMAX vidrio = 3.106 V/m

25.- Un juguete didáctico llamado “bola mágica” está compuesto por una esfera metálica rodeada de varias capas dieléctricas, tal como se muestra en la figura. La esfera metálica tiene un radio R1= 1 cm y está recubierta con una capa de vidrio de espesor R2 – R1. Rodeando al vidrio, entre los radios R2 y R3, se encuentra un gas noble fácilmente ionizable. El aire rodea al sistema (en la práctica, en R3 hay una fina capa de vidrio para contener el gas noble, pero en este problema se ha despreciado).

a) Calcular la capacidad de la bola metálica respecto del infinito cuando el gas no se ha ionizado.

b) Calcular la capacidad de la bola respecto al infinito cuando el gas noble se ha ionizado (suponer que entre R2 y R3 hay un conductor ideal).

c) Calcular la mínima carga real contenida en la bola metálica para que se produzca la ruptura dieléctrica en todo el volumen del gas noble.

    

Datos: R2= 1,1 cm; R3= 5 cm;  e1 = 7·e0;  e2 = 1,5·e0 , EMAX aire = 3.106 V/m, EMAX gas = 103 V/m

26.- Un condensador esférico, de radios R1 = 0,2 m y R2 = 0,5 m, se encuentra aislado pero cargado con una carga Q = 65 mC. El medio que separa los dos conductores es aire, cuya permitividad se puede suponer igual a la del vacío, eo, y su rigidez dieléctrica de 3.106 V/m.  Indicar si en estas condiciones el condensador se perfora o no.  Si la respuesta es positiva, indicar si la descarga será en forma de arco o de chispa. Si la respuesta es negativa, indicar hasta que distancia se extenderá el efecto corona.

27.- La máxima intensidad de campo eléctrico que puede existir en el aire, en condiciones normales de presión y temperatura, es de 3 MV/m. Calcular:

a) el máximo potencial (respecto del infinito) que puede soportar una esfera conductora de 20 cm de diámetro sin que se produzca el efecto corona.

b) ¿Qué sucederá si, manteniendo la esfera a dicho potencial, se la rodea por otra esfera conductora hueca, de espesor despreciable, concéntrica, de radio 20 cm y conectada a tierra?

28.- Un inhibidor de rayos es un elemento de protección que, en algunas ocasiones, puede sustituir a un pararrayos convencional, actuando de forma contraria a éste. Está constituido por un mástil de acero terminado en una punta de radio R1, conectado a tierra. Rodeando el extremo del mástil se coloca una semiesfera de material aislante de permitividad e y rigidez dieléctrica EMAX. El radio interior de ese volumen es R1 y su radio exterior R2. Una carcasa semiesférica de material conductor de radio interior R2 y radio exterior R3 hace de tapa superior. La tapa inferior es un cilindro de altura despreciable, radio interior R1 y radio exterior R3, de un material aislante. Los vectores intensidad de campo eléctrico,, tanto en el interior del inhibidor como en el exterior se consideran radiales. Todo el conjunto está rodeado de aire cuya permitividad vale e0. Durante una tormenta eléctrica, el sentido del vector intensidad de campo eléctrico en el exterior del inhibidor es saliente, tal como se indica en la figura. Si inicialmente la carcasa conductora se encuentra descargada, y el módulo del vector intensidad de campo eléctrico en su superficie exterior vale

a) Calcular la diferencia de potencial entre la carcasa conductora y el mástil.

b) Determinar si existen o no fenómenos de ruptura dieléctrica en el volumen semiesférico de material aislante.

Debido a la ionización del aire que rodea la carcasa conductora, ésta se va cargando hasta tener una carga real negativa de valor – 3 mC. A su vez, al avanzar la tormenta el módulo del vector intensidad de campo eléctrico en la superficie exterior de la carcasa conductora aumenta hasta el nuevo valor de .  En estas nuevas condiciones:

c) Calcular el vector intensidad de campo eléctrico en el volumen semiesférico de material aislante, e indicar si se producirán o no fenómenos de ruptura dieléctrica en su interior.

Datos:

 

 

 


 


BIBLIOGRAFÍA Y RESULTADOS

 

-- Problema 1, Resultado:

 

-- Problema 4e, 1er Parcial,  Curso 1999 - 00, 8-2/00.  Resultado:

 

-- Problema 5, Resultado: El condensador de máxima capacidad estará formado por la lámina de mica como dieléctrico y las dos placas de cobre como electrodos. Poner la lámina de mica junto con cualquiera de las otras dos sería equivalente a tener dos condensadores en serie, cuya capacidad total sería menor que la de mica.

 

-- Problema 6e, Convocatoria de Junio, Curso 2001 - 02, 17-6/02. Resultado:

 

-- Problema 7,. [ Serway R., "Electricidad y Magnetismo", 4a Ed.;  Cap. 26, Ejemplo 26.2]   Resultado:

-- Problema 8e, 1er Parcial,  Curso 2000 - 01, 20-1/01.  Resultado:

-- Problema 9,  Resultado:

-- Problema 10,  Resultado:

-- Problema 11,  Resultado: apartado c)

 

-- Problema 12,  Resultado: apartado c)

 

-- Problema 13e, Convocatoria de Septiembre, Curso 1998 - 99, 14-9/99. Resultado:

 

-- Problema 14, Resultado: a) Va = 90 V, Vb = 56,25 V   b) Va = – 108 mV, Vb = – 67,5 mV

-- Problema 15, Resultado:

 

-- Problema 16e, Convocatoria de Septiembre, Curso 1999-00, 4-9/00.  Resultado:

--  Problema 17e, 1er Parcial,  Curso 2000 - 01, 20-1/01.  Resultado:

--  Problema 18e, 1er Parcial,  Curso 2001 - 02, 4-2/02.  Resultado:

--  Problema 19e,  Teoría Convocatoria de Diciembre, Curso 1997-98, 18-12/98. Resultado:

 

--  Problema 20, [ Serrano V., García G., Gutiérrez C. "Electricidad y Magnetismo. Estrategias para la resolución de problemas y aplicaciones", 1ª Edición, Pearson Educación, México 2001, Cap. 4, Pb 62r ]. Resultado:

--  Problema 21, Resultado: La distancia mínima entre las placas del condensador será de 0,227 mm, y la superficie mínima de 62,64 dm2

--  Problema 22, [ López E. - Núñez F., "100 Problemas de Electromagnetismo", Alianza Editoria; Pb. 21r ].

Resultado: a) Condensador sin capa de oxido aislante

b) Condensador con capa de oxido aislante

S º superficie de las placas

--  Problema 23e, Problemas 2º Parcial, Convocatoria de Junio, Curso 1997-98, 27-6/98. Resultado:

--  Problema 24,  Resultado:

 No se produce ruptura dieléctrica en el vidrio.

 

--  Problema 25e, 1er Parcial, Curso 2001 - 02, 4-2/02.  Resultado:

 

-- Problema 26e, Teoría Convocatoria de Diciembre, Curso 1996-97, 16-12/97. Resultado:

 El efecto corona queda limitado al volumen esférico de aire de radio interior R1 y radio exterior 0,44 m.  En estas condiciones no se produce perforación del condensador.

 

-- Problema 27, [ López E. - Núñez F., "100 Problemas de Electromagnetismo", Alianza Editorial; Pb. 16r ].

 Resultado: a) (V0) MAX = Emax R1 = 3 105 V = VR

b) Si la esfera se mantiene al potencial VR, .luego saltará la chispa entre ambas esferas conductoras

 

--  Problema 28e, Convocatoria de Diciembre, Curso 1999-00, 21-11/00.  Resultado:

 

 

r: problema resuelto.

e: problema o cuestión propuesto en examen.