ANÁLISIS DE FOURIER

La asignatura de Análisis de Fourier pertenece al plan de estudios de la licenciatura de Matemáticas (Facultad de Ciencias). Se trata de una asignatura optativa de segundo ciclo, de carácter cuatrimestral (segundo cuatrimestre) y de 7,5 créditos. Su docencia está asignada al área de Análisis Matemático.


Programa de la asignatura:

  1. Introducción histórica, física y matemática.
    • La cuerda vibrante y la ecuación de ondas: D'Alembert, Euler y Bernoulli.
    • La transmisión del calor y su ecuación: Fourier.
    • El concepto de función: la teoría de la medida y el Análisis Funcional.
  2. Series de Fourier.
    • Funciones periódicas, pares e impares. Series formales de Fourier de senos, cosenos y exponenciales. Planteamiento del problema de la convergencia de la serie de Fourier: convolución, núcleos, la circunferencia unidad y la relación con la variable compleja y espacios intervinientes.
    • Resultados de convergencia puntual, uniforme y en media: sumabilidades de la serie de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue. Teorema de Dirichlet y fenómeno de Gibbs.
    • Explotando la ortogonalidad: espacios de Hilbert y teorema de Plancherel.
  3. Transformada de Fourier.
    • El análogo continuo de las series de Fourier. Frecuencias continuas. Núcleos de Poisson y Gauss-Weierstrass. Transformada de Fourier y teoría L2. Breve introducción a las funciones de la clase de Schwartz y distribuciones.
  4. Aplicaciones.
    • Teoría de la señal: tratamiento de señales, transformada rápida de Fourier (FFT), filtros y ondículas. El problema de las temperaturas en el disco unidad y en el semiplano. La función de onda y el principio de indeterminación de Heisenberg. Otras aplicaciones del Análisis de Fourier en Física y Matemáticas. (Se hará una selección entre las diversas aplicaciones de la teoría en función de las posibilidades del curso. En todo caso, dichas aplicaciones se darán escaladas a lo largo del curso a medida que se disponga de la suficiente información para resolver los problemas).

El área de Análisis matemático imparte las siguientes asignaturas: en el grado de Matemáticas, Análisis matemático I, Números y conjuntos, Análisis matemático II, Variable compleja; en la licenciatura de Matemáticas, Análisis matemático II, Medida e integración, Variable compleja, Análisis funcional, Ampliación de análisis complejo, Análisis de Fourier, Distribuciones y teoría espectral, Fundamentos de análisis matemático, Teoría analítica de números; en el grado de Físicas, Análisis matemático; en la diplomatura de Estadística, Ampliación de análisis matemático; en el grado de Biotecnología, Matemáticas.


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Última modificación: 5-9-2012