ANÁLISIS MATEMÁTICO II

La asignatura de Análisis matemático II pertenece al plan de estudios de la licenciatura de Matemáticas (Facultad de Ciencias). Se trata de una asignatura troncal de segundo curso, de carácter anual y de 16,5 créditos. Esta asignatura no tiene docencia. Se mantienen las convocatorias de examen en el curso 2012-2013.


Programa de la asignatura:

  1. Diferenciabilidad de funciones de varias variables
    • Continuidad: normas en Rn, convergencia de sucesiones en Rn y límites y continuidad de funciones de varias variables.
    • Diferenciabilidad: derivadas parciales y diferencial de funciones de varias variables. Propiedades de la diferencial: regla de la cadena. Funciones de clase C(1. Teoremas del valor medio.
    • Derivadas parciales de orden superior: intercambio en el orden de integración. Funciones de clase C(p. Diferenciales sucesivas y fórmula de Taylor. Aplicación al cálculo de extremos.
  2. Funciones implícitas
    • Teorema de la función implícita.
    • Teorema de la función inversa: difeomorfismos.
    • Cambios de variables y de función: aplicación a la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales.
    • Variedades diferenciables en Rn : estudio de extremos condicionados.
  3. Introducción a la teoría de funciones holomorfas.
    • Funciones holomorfas y armónicas: ecuaciones de Cauchy-Riemann. Función armónica conjugada.
    • Funciones analíticas. Algunas funciones elementales.
  4. Integral de Lebesgue en Rn
    • Axiomática de la medida de Lebesgue en Rn. Funciones medibles. Integración: teoremas de la convergencia monótona y dominada.
    • Integrales dependientes de un parámetro.
    • La integración en varias variables: teoremas de Fubini y de cambio de variables.
  5. Introducción a la integración en variedades
    • Integración de funciones sobre caminos.
    • Integración de 1-formas sobre caminos. Formas cerradas y exactas: lema de Poincaré. Factores integrantes y ecuaciones diferenciales.
    • Área de una superficie e integral de funciones sobre superficies.
    • p-formas diferenciales.
    • Integración de 2-formas diferenciales sobre superficies. Casos particulares del teorema de Stokes: Riemann-Green, divergencia y Stokes en R3.
  6. Introducción a la integración compleja
    • Integración sobre caminos. Conexión con la holomorfía.

Exámenes:

  1. Curso 2005-2006: primer examen parcial (enunciado y soluciones); primera convocatoria (enunciado); segunda convocatoria (enunciado).
  2. Curso 2006-2007: primer examen parcial (enunciado y soluciones).

El área de Análisis matemático imparte las siguientes asignaturas: en el grado de Matemáticas, Análisis matemático I, Números y conjuntos, Análisis matemático II, Variable compleja; en la licenciatura de Matemáticas, Análisis matemático II, Medida e integración, Variable compleja, Análisis funcional, Ampliación de análisis complejo, Análisis de Fourier, Distribuciones y teoría espectral, Fundamentos de análisis matemático, Teoría analítica de números; en el grado de Físicas, Análisis matemático; en la diplomatura de Estadística, Ampliación de análisis matemático; en el grado de Biotecnología, Matemáticas.


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Última modificación: 5-9-2012