Introducción al Cálculo Integral

     Editado por Prensas Universitarias de Zaragoza, Colección Textos Docentes

     ISBN 84-7733-503-6

     primera edición, 1998

     235 páginas

José Luis Alejandre Marco

Ana Allueva Pinilla

José Miguel González Santos

PRÓLOGO          ÍNDICE

PRÓLOGO

Lo que se oye se olvida.

                Lo que se ve se recuerda.

                Lo que se hace se aprende.

Proverbio chino

  Este texto ha sido elaborado a partir de las explicaciones y problemas de clase de los distintos cursos impartidos en los últimos años por los autores en su labor docente en el seno del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Zaragoza.

Introducción al cálculo integral está pensado para ser utilizado en un curso inicial de cálculo infinitesimal destinado a estudiantes de ingeniería, matemáticas, ciencias químicas y ciencias físicas.

El objetivo de este texto docente es conseguir que el alumno/a domine el cálculo integral, herramienta básica en todas las ramas de la ciencia y la tecnología.

Sin abandonar el rigor formal en la exposición, hemos procurado hacer asequible cada cuestión mediante ejemplos y ejercicios. Desde luego, no hacemos ninguna aportación nueva, a no ser un pretendido cuidado en el aspecto didáctico en un intento de que los estudiantes rompan con su rol habitual de espectadores-oyentes, cumplidores de actividades mecanicistas, y consigan una dinámica nueva de trabajo.

Para el estudio del contenido de este texto no se presupone ningún conocimiento previo de cálculo integral, con lo que es asequible a todos los alumnos/as desde el primer momento. Es decir, un estudiante con interés puede seguir las explicaciones con facilidad. Se han incluido las demostraciones de aquellos resultados que consideramos formativos y que desarrollan la capacidad de razonamiento lógico y de análisis crítico. A lo largo de todo el texto hay gran cantidad de ejemplos que ayudan a entender y asimilar los resultados presentados. Cada capítulo finaliza con una lista de ejercicios propuestos, que ayudará a cimentar los conocimientos adquiridos y debe servir para comprobar que realmente se ha comprendido y asimilado el contenido del capítulo.

Damos las gracias a los alumnos/as, porque con su querer saber nos han mostrado aquellas partes en las que encuentran mayores dificultades. Esperamos que este texto sea de ayuda para los futuros estudiantes del cálculo integral.

Los autores.

     ÍNDICE

PRÓLOGO

Capítulo 1. 

INTEGRAL DE RIEMANN  

9

          1.1. Introducción

          1.2. Partición

          1.3. Definiciones

          1.4. Integral de Riemann

          1.5. Teorema

          1.6. Algunas propiedades de la integral de Riemann

          1.7. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

          1.8. Teorema del valor medio para integrales

          1.9. La función integral

          1.10. Función primitiva o antiderivada

Capítulo 2.

INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES

21

          2.1. Introducción

          2.2. Teorema

          2.3. Propiedades

          2.4. Ejemplos

          2.5. Integración de una función compuesta

          Ejercicios propuestos

Capítulo 3.

PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN

31

          3.1. Integración por cambio de variable

          3.2. Integración por partes

                 3.2.1. Producto de un polinomio por una exponencial

                 3.2.2. Producto de un polinomio por un seno o un coseno

                 3.2.3. Producto de una exponencial por un seno o un coseno

                 3.2.4. Producto de un logaritmo por otra función

                 3.2.5. Las tres funciones inversas arcsenx, arccosx, arctgx

                 3.2.6. Algunas funciones racionales e irracionale

          Ejercicios propuestos

Capítulo 4.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

47

          4.1. Introducción

          4.2. Raíces comunes

          4.3. División entera de polinomios

          4.4. Descomposición de un polinomio en producto de factores

          4.5. Método de fracciones simples

          4.6. Método de Hermite

          4.7. Problemas resueltos

          Ejercicios propuestos

Capítulo 5.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

71

          5.1. Introducción

          5.2. Cambios de variable

          5.3. Transformación en sumas

          5.4. Problemas resueltos

          5.5. Integración por recurrencia

          Ejercicios propuestos

Capítulo 6.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES

97

          6.1. Introducción

          6.2. Integrales irracionales simples

          6.3. Integrales irracionales lineales

          6.4. Integrales irracionales de polinomios de grado dos no completos

          6.5. Integrales irracionales de polinomios de grado dos completos

          6.6. Integrales irracionales compuestas

          Ejercicios propuestos

Capítulo 7.

INTEGRAL DEFINIDA

129

          7.1. Introducción

          7.2. Teorema de integrabilidad

          7.3. El área como una integral definida.

          7.4. Propiedades

          7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral

          7.6. Cambios de variable para integrales definidas

          Ejercicios propuestos

Capítulo 8.

APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

139

          8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas

          8.2. Cálculo del área en coordenadas paramétricas

          8.3. Cálculo del área en coordenadas polares

          8.4. Cálculo del valor medio de una función

                 8.4.1. Interpretación geométrica

                 8.4.2. Valor medio de una función

          8.5. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas cartesianas

                 8.5.1. Diferencial de un arco de curva

                 8.5.2. Comparación del arco y de su cuerda

          8.6. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas paramétricas

          8.7. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas polares

          8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo

          8.9. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución

                 8.9.1. Método de discos.

                 8.9.2. Método de las arandelas

                 8.9.3. Método de las envolventes cilíndricas (cortezas)

          8.10. Cálculo del área lateral de un cuerpo de revolución

          8.11. Cálculo del trabajo mediante la integral definida

          8.12. Coordenadas del centro de gravedad

                 8.12.1. Centro de gravedad de una curva plana

                 8.12.2. Centro de gravedad de una figura plana

          8.13. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definida

                 8.13.1. Momento de inercia de una curva material

                 8.13.2. Momento de inercia de una barra homogénea de longitud L respecto a su extremo

                 8.13.3. Momento de inercia de una circunferencia material de radio r respecto al centro       

                 8.13.4. Momento de inercia de un círculo homogéneo de radio r respecto al centro   

          Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas

          Ejercicios propuestos para el cálculo de longitudes de curva

          Ejercicios propuestos para el cálculo de volúmenes

          Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas laterales

          Ejercicios propuestos para el cálculo de centros de gravedad

Capítulo 9.

 INTEGRALES IMPROPIAS

205

          9.1. Límites de integración infinitos

          9.2. Integrales con integrando que tiende a infinito

          9.3. Observaciones a las integrales impropias

          Ejercicios propuestos

TABLA DE INTEGRALES

BIBLIOGRAFÍA