Introducción al Cálculo Integral

     Editado por Prensas Universitarias de Zaragoza, Colección Textos Docentes

     ISBN 84-7733-503-6

     primera edición, 1998

     235 páginas

 

José Luis Alejandre Marco

Ana Allueva Pinilla

José Miguel González Santos

PRÓLOGO          ÍNDICE

 

 

PRÓLOGO

Lo que se oye se olvida.

                Lo que se ve se recuerda.

                Lo que se hace se aprende.

Proverbio chino

  Este texto ha sido elaborado a partir de las explicaciones y problemas de clase de los distintos cursos impartidos en los últimos años por los autores en su labor docente en el seno del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Zaragoza.

Introducción al cálculo integral está pensado para ser utilizado en un curso inicial de cálculo infinitesimal destinado a estudiantes de ingeniería, matemáticas, ciencias químicas y ciencias físicas.

El objetivo de este texto docente es conseguir que el alumno/a domine el cálculo integral, herramienta básica en todas las ramas de la ciencia y la tecnología.

Sin abandonar el rigor formal en la exposición, hemos procurado hacer asequible cada cuestión mediante ejemplos y ejercicios. Desde luego, no hacemos ninguna aportación nueva, a no ser un pretendido cuidado en el aspecto didáctico en un intento de que los estudiantes rompan con su rol habitual de espectadores-oyentes, cumplidores de actividades mecanicistas, y consigan una dinámica nueva de trabajo.

Para el estudio del contenido de este texto no se presupone ningún conocimiento previo de cálculo integral, con lo que es asequible a todos los alumnos/as desde el primer momento. Es decir, un estudiante con interés puede seguir las explicaciones con facilidad. Se han incluido las demostraciones de aquellos resultados que consideramos formativos y que desarrollan la capacidad de razonamiento lógico y de análisis crítico. A lo largo de todo el texto hay gran cantidad de ejemplos que ayudan a entender y asimilar los resultados presentados. Cada capítulo finaliza con una lista de ejercicios propuestos, que ayudará a cimentar los conocimientos adquiridos y debe servir para comprobar que realmente se ha comprendido y asimilado el contenido del capítulo.

Damos las gracias a los alumnos/as, porque con su querer saber nos han mostrado aquellas partes en las que encuentran mayores dificultades. Esperamos que este texto sea de ayuda para los futuros estudiantes del cálculo integral.

 

Los autores.

 

 

 

 

     ÍNDICE

 

PRÓLOGO

7

 

Capítulo 1. 

INTEGRAL DE RIEMANN  

 

9

          1.1. Introducción

11

          1.2. Partición

13

          1.3. Definiciones

14

          1.4. Integral de Riemann

14

          1.5. Teorema

15

          1.6. Algunas propiedades de la integral de Riemann

16

          1.7. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

17

          1.8. Teorema del valor medio para integrales

17

          1.9. La función integral

17

          1.10. Función primitiva o antiderivada

17

Capítulo 2.

INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES

 

21

          2.1. Introducción

23

          2.2. Teorema

23

          2.3. Propiedades

24

          2.4. Ejemplos

24

          2.5. Integración de una función compuesta

26

          Ejercicios propuestos

28

Capítulo 3.

PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN

 

31

          3.1. Integración por cambio de variable

33

          3.2. Integración por partes

35

                 3.2.1. Producto de un polinomio por una exponencial

36

                 3.2.2. Producto de un polinomio por un seno o un coseno

36

                 3.2.3. Producto de una exponencial por un seno o un coseno

38

                 3.2.4. Producto de un logaritmo por otra función

39

                 3.2.5. Las tres funciones inversas arcsenx, arccosx, arctgx

40

                 3.2.6. Algunas funciones racionales e irracionale

40

          Ejercicios propuestos

42

Capítulo 4.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

 

47

          4.1. Introducción

49

          4.2. Raíces comunes

49

          4.3. División entera de polinomios

49

          4.4. Descomposición de un polinomio en producto de factores

50

          4.5. Método de fracciones simples

51

          4.6. Método de Hermite

59

          4.7. Problemas resueltos

64

          Ejercicios propuestos

67

 

Capítulo 5.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

 

71

          5.1. Introducción

73

          5.2. Cambios de variable

74

          5.3. Transformación en sumas

81

          5.4. Problemas resueltos

82

          5.5. Integración por recurrencia

90

          Ejercicios propuestos

93

Capítulo 6.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES

 

97

          6.1. Introducción

99

          6.2. Integrales irracionales simples

99

          6.3. Integrales irracionales lineales

100

          6.4. Integrales irracionales de polinomios de grado dos no completos

106

          6.5. Integrales irracionales de polinomios de grado dos completos

112

          6.6. Integrales irracionales compuestas

119

          Ejercicios propuestos

124

Capítulo 7.

INTEGRAL DEFINIDA

 

129

          7.1. Introducción

131

          7.2. Teorema de integrabilidad

131

          7.3. El área como una integral definida.

131

          7.4. Propiedades

131

          7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral

132

          7.6. Cambios de variable para integrales definidas

133

          Ejercicios propuestos

136

Capítulo 8.

APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

 

139

          8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas

141

          8.2. Cálculo del área en coordenadas paramétricas

144

          8.3. Cálculo del área en coordenadas polares

147

          8.4. Cálculo del valor medio de una función

149

                 8.4.1. Interpretación geométrica

151

                 8.4.2. Valor medio de una función

151

          8.5. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas cartesianas

152

                 8.5.1. Diferencial de un arco de curva

155

                 8.5.2. Comparación del arco y de su cuerda

155

          8.6. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas paramétricas

159

          8.7. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas polares

164

          8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo

167

          8.9. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución

169

                 8.9.1. Método de discos.

169

                 8.9.2. Método de las arandelas

171

                 8.9.3. Método de las envolventes cilíndricas (cortezas)

172

          8.10. Cálculo del área lateral de un cuerpo de revolución

174

          8.11. Cálculo del trabajo mediante la integral definida

179

          8.12. Coordenadas del centro de gravedad

181

                 8.12.1. Centro de gravedad de una curva plana

181

                 8.12.2. Centro de gravedad de una figura plana

182

          8.13. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definida

186

                 8.13.1. Momento de inercia de una curva material

186

                 8.13.2. Momento de inercia de una barra homogénea de longitud L respecto a su extremo

187

                 8.13.3. Momento de inercia de una circunferencia material de radio r respecto al centro       

187

                 8.13.4. Momento de inercia de un círculo homogéneo de radio r respecto al centro   

187

          Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas

189

          Ejercicios propuestos para el cálculo de longitudes de curva

196

          Ejercicios propuestos para el cálculo de volúmenes

198

          Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas laterales

201

          Ejercicios propuestos para el cálculo de centros de gravedad

204

Capítulo 9.

 INTEGRALES IMPROPIAS

 

205

          9.1. Límites de integración infinitos

207

          9.2. Integrales con integrando que tiende a infinito

210

          9.3. Observaciones a las integrales impropias

214

          Ejercicios propuestos

219

TABLA DE INTEGRALES

223

BIBLIOGRAFÍA 

229