En una población de conejos, cada par de conejos adultos tiene un par de crías cada mes y los nuevos conejos empiezan a reproducirse cuando tienen dos meses.

a) Escribir la ecuación en diferencias que da el número de pares de conejos después de n meses.

b) Determinar la expresión general que determina el número total de parejas si inicialmente había una pareja de conejos adultos. En particular, calcular el número de parejas al final del primer año y al final del segundo.

SOLUCIÓN

a) Representamos en un tabla los primeros meses:

t	0	1	2	3	4	5	6	7	...
a	1	1	2	3	5	8	13	21	...
c	0	1	1	2	3	5	8	13	...
T	1	2	3	5	8	13	21	34	...

donde a indica número de parejas de adultos, c número de pares de crías, t tiempo en meses y T el total de pares de conejos. El proceso se modeliza como:

En primer lugar, calculamos los valores propios de la matriz de transición:

Obtenemos los vectores propios asociados a cada valor propio resolviendo el sistema:

Entonces:

y así:

b) Si inicialmente hay una pareja de adultos, separando en la expresión anterior para cada componente obtenemos:

Así, podemos calcular, transcurridos 12 meses, esto es, al final del primer año:

y al final del segundo año:

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Consideramos un experimento en el que sólo son posibles dos respuestas: la acertada y la desacertada. Al ser repetido el experimento sucesivas veces, se observa que una respuesta acertada es seguida por otra acertada en el 97% de los casos; sin embargo, a una respuesta desacertada sigue otra igualmente desacertada en el 73% de los casos. Suponiendo que en la prueba inicial se da una respuesta desacertada, calcular la probabilidad de que se de una respuesta acertada en la prueba k. Encontrar el estado estacionario. ¿Es un proceso de Markov?

SOLUCIÓN

A: respuesta acertada

D: respuesta desacertada

El sistema de ecuaciones en diferencias que modeliza esta situación es:

En forma matricial:

Sea la matriz de transición

entonces el proceso es de Markov porque ésta es una matriz con elementos no negativos y tal que la suma de los elementos de sus columnas es la unidad.

La solución del sistema de ecuaciones en diferencias es:

O también:

con S matriz cuyas columnas son los vectores propios asociados a los valores propios de la matriz M, L es la matriz diagonal en cuya diagonal están los valores propios de M.

Calcularemos, en primer lugar, los valores propios:

Observemos que l = 1 es un valor propio que de forma teórica ya conocemos puesto que este es un proceso de Markov.

Una vez conocidos los valores propios se tratará de calcular los vectores propios asociados a cada uno de ellos:

de donde:

luego, el vector propio asociado es por ejemplo

Puesto que el proceso es de Markov, este vector propio será el estado estacionario.

de donde:

luego, el vector propio asociado es por ejemplo

Por tanto, las matrices L y S son:

Calcularemos ahora la matriz inversa de S, S ^-1 :

La solución del sistema de ecuaciones en diferencias será en general, para cualquier valor inicial:

Con la condición inicial obtenemos:

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En un determinado hábitat los jabalíes tienen unas actividades migratorias que se pueden resumir del modo siguiente: cada año el 20 % de los que habitan en Monte Alto van al Somontano y el 20 % de los del Somontano van al Monte Alto; además, cada año, el 20 % de los que habitan en la Ribera emigra a Monte Alto y el 10 % al Somontano. El primer año hay solamente 1.000 jabalíes que habitan en la Ribera.

a) Escribe la matriz de transición de los tres estados y di si es una matriz de Markov.

b) Calcula los valores y vectores propios de la matriz y encuentra el estado estacionario (cuando pase mucho, mucho, tiempo).

c) Determina el número de jabalíes en Monte Alto, Somontano y Ribera cuando pasen 5 años.

SOLUCIÓN:

Sea M =Monte Alto, S =Somontano y R =Ribera. Los datos iniciales son:

y las ecuaciones que modelan el sistema:

a)

La matriz de transición es de Markov

b) Valores propios:

Vectores propios:

Estado estacionario:

Cuando pase mucho tiempo: el 50 % en Monte Alto y el otro 50 % en el Somontano.

c)

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Una determinada planta anual tiene flores de dos colores: rojas y blancas. Se sabe que de cada bolsa de 100 semillas de flores blancas se obtienen 70 plantas de flores blancas y 60 plantas de flores rojas; además de cada 100 bolsas de semillas de flores rojas se obtienen 20 plantas de flores blancas y 60 plantas de flores rojas. A su vez cada planta que muere produce una nueva semilla con la misma proporción de descendencia en sucesivos años.

a) Escribe las ecuaciones que describen la evolución de la población de un año al siguiente.

b) Calcula los valores propios de la matriz asociada al sistema anterior.

c) Determina el número de plantas de cada color al cabo de k años, en los casos siguientes:

1. Suponiendo que se han comprado exclusivamente 7 bolsas (es decir, 700 semillas) rojas.

2. Suponiendo que se han comprado exclusivamente 7 bolsas (es decir, 700 semillas) blancas.

d) Determina, si cuando pasen “muchos años” existirá una población de equilibrio, para ambos tipos de flores, en cada uno de los casos. Razona y justifica la respuesta.

SOLUCIÓN:

Sea el número de flores blancas en el instante k.

Sea el número de flores rojas en el instante k.

a) En el instante k + 1 tendremos:

En forma matricial:

b) Valores propios:

c) Vectores propios asociados a cada valor propio:

Por tanto, las matrices L y S son:

Calcularemos ahora la matriz inversa de S, S ^-1 :

La solución del sistema de ecuaciones en diferencias será en general, para cualquier valor inicial:

Con la primera condición inicial en particular, obtenemos:

Con la segunda condición inicial en particular, obtenemos:

Por tener un valor propio igual a 1 y el otro ser menor que la unidad, cuando pase “mucho tiempo” el proceso es neutralmente estable y será un múltiplo del vector asociado al valor propio 1 es decir un múltiplo de:

El 40 % FB y el 60 % FR.