ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Ecuaciones que están definidas en un cierto dominio de una variable x, y que relacionan una función incógnita de dicha variable con la función de la variable x + 1, que difiere en 1 de la primera, esto es, U(x) relacionada con U(x + 1), se llaman ecuaciones en diferencias de primer orden.

Si relacionan una función incógnita U(x) con U(x + 1), U(x + 2),…, U(x + n), se llaman ecuación en diferencias o ecuación en diferencias finitas de orden n.

x, U(x) varían en el conjunto de números enteros y reales respectivamente.

SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

· Supongamos un sistema cuyo estado en un cierto instante de tiempo viene definido por un vector de n componentes.

· Supongamos que el estado del sistema evoluciona en el tiempo (variable discreta). El estado del sistema recorre los valores de una sucesión:

· Supongamos que la evolución del sistema es determinista, tal que el estado del sistema en un instante de tiempo queda determinado por el anterior, y que la relación entre ambos es lineal, esto es:

A es la matriz de transición

Suponiendo conocido el estado inicial y la matriz A, ¿cómo determinar el estado del sistema para cualquier valor arbitrario del tiempo k?

Resolver el SISTEMA LINEAL EN DIFERENCIAS FINITAS

El problema será calcular A^k

Si A es diagonalizable:

Con la condición:

o bien

ESTABILIDAD

La estabilidad es el comportamiento de la solución en el infinito. Como

su crecimiento está “gobernado” por los factores l^k_i, esto es, la estabilidad depende de los valores propios de A

ESTABLE:

Si todos los valores propios de A poseen módulo menor que uno, entonces la solución tiende a cero, esto es:

NEUTRALMENTE ESTABLE o ESTACIONARIO

Si algún valor propio tiene módulo 1 y el resto de los valores propios posee módulo estrictamente menor que uno, entonces la solución está acotada, esto es:

ACOTADO

INESTABLE

Si al menos un valor propio posee módulo estrictamente mayor que uno, entonces la solución está no acotada, esto es:

PROCESOS DE MARKOV

Sea la solución de un sistema de ecuaciones en diferencias. La matriz de transición (A) es una matriz de Markov si:

· todos los elementos o entradas son no negativos

· cada columna suma 1

En ese caso se verifica:

1. l = 1 es un valor propio.

2. El vector propio asociado al valor propio l = 1 es el estado estacionario.

3. El resto de los valores propios cumplen que su módulo es estrictamente menor que uno, | l_i | < 1.

4. La solución tiende en el infinito a un múltiplo del vector propio asociado al valor propio 1, que es el estado estacionario.

5. La población total permanece invariable.