1. Resolver el siguiente Problema de Valor
Inicial de primer orden:
SOLUCIÓN:
OTRA FORMA:
2. Resolver el siguiente Problema
de Valor Inicial de primer orden:
SOLUCIÓN:
3. Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 6L/min
hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 50L de solución de salmuera
en la cual se disolvieron 5kg de sal. La solución contenida en el depósito se
mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior con la misma rapidez. Si la
concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0.5kg/L,
determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t minutos.
¿Cuándo alcanzará la concentración de sal en el depósito el valor de 0.3kg/L?.
SOLUCIÓN:
x(t) = kg de sal dentro del
depósito en el instante t
x(0) = 5kg 6L/min 0.5kg/L 6L/min 50L
Así, la concentración será igual a:
4. Una solución
de salmuera de sal fluye a razón constante de 4L/min hacia el interior de un
depósito que inicialmente contiene 100L de agua. La solución contenida en el
depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a razón de 3L/min.
Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de
0.2kg/L, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t
minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el depósito será
de 0.1kg/L?.
SOLUCIÓN:
x(t) = kg de sal dentro del
depósito en el instante t
x(0) = 0kg 4L/min 0.2kg/L 3L/min 100L
5. Un
gran depósito está parcialmente lleno con 100 litros de líquido en los cuales
se disuelven 10 gramos de sal. Una salmuera que contiene 0.5 gramos de sal por
litro se bombea al tanque con una velocidad de 6L/min. La solución
adecuadamente mezclada se bombea enseguida hacia fuera con una rapidez menor,
de 4L/min. Hallar el número de gramos de sal que hay en el depósito después de
30 minutos.
SOLUCIÓN:
x(t) = gramos de sal en el
interior en el instante t
x(0) = 10 6L/min 0.5g/L 4L/min 100L
Después de 30 minutos: x(30) = 64,375 gramos.
6. Un objeto
con masa de 2 kilogramos se suelta partiendo del reposo desde una plataforma de
30 metros sobre el agua y se le deja caer bajo la influencia de la
gravedad. Después de que el objeto
golpea la superficie del agua, empieza a sumergirse con la gravedad atrayéndole
hacia abajo y la fuerza de boyanza empujándolo hacia arriba. Suponiendo que la fuerza de la gravedad es
constante (g = 9.81 m/seg2), que la fuerza de boyanza es 1/2 del
peso, y que la fuerza debida a la resistencia del aire o a la resistencia del
agua es proporcional a la velocidad, con constante de proporcionalidad de 10 en
el aire y de 100 en el agua, encontrar la ecuación del movimiento del objeto en
cada medio. ¿Cuál será la velocidad del
objeto 1 minuto después de haberse soltado?, ¿a qué profundidad bajo el agua
estará en ese instante?
SOLUCIÓN:
m = 2 kg. 10v mg 30 m 100v mg 0.5mg 1 2
1) Antes de entrar en el agua
2) Después de entrar en el agua
7. Resolver
el siguiente Problema de Valor Inicial de segundo orden:
SOLUCIÓN:
8. Resolver
el siguiente Problema de Valor Inicial de segundo orden:
SOLUCIÓN:
9. Resolver
el siguiente P.V.I. utilizando el método de eliminación para sistemas de
ecuaciones diferenciales:
SOLUCIÓN:
Eliminando x:
Simplificando:
Eliminando y:
Simplificando:
Sustituyendo en la primera
ecuación resulta la relación entre las constantes:
Así resulta:
10. Resolver el siguiente Problema
de Valor Inicial utilizando la transformada de Laplace:
SOLUCIÓN:
11. Resolver el
siguiente Problema de Valor Inicial utilizando la transformada de Laplace:
SOLUCIÓN: